多元函数微积分相关知识点

函数极限

对于多元函数, 要求所有路径的极限存在且相等.

单调有界准则, 洛必达法则在多元函数极限下不可使用.

连续

只需

lim⁡x→x0y→y0f(x,y)=f(x,y)\lim_{x\rightarrow x_0 \atop y\rightarrow y_0}f(x,y) = f(x,y)

偏导数

lim⁡Δx→0f(x0+Δx,y0)−f(x0,y0)Δx\lim_{\Delta x\to 0 }\frac{f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x}

可微的证明步骤

  1. 求出全增量Δz=f(x0+Δx,y0+Δy)−f(x0,y0)\Delta z = f(x_0 + \Delta x, y_0 + \Delta y) - f(x_0,y_0)

  2. 线性增量: AΔx+BΔyA\Delta x + B \Delta y, 其中 A=fx′(x0,y0),B=fy′(x0,y0)A = f'_x(x_0,y_0),B=f'_y(x_0,y_0)

  3. 作极限

lim⁡Δx→0Δy→oΔz−A(Δx+BΔy)(Δx)2+(Δy)2\lim_{\Delta x \to 0 \atop \Delta y \to o} \frac{\Delta z- A(\Delta x + B \Delta y)}{\sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}}

  1. 若极限等于零, 可微, 否则不可微.

多元函数极值

若f(x,y)f(x,y)在点(x0,y0)(x_0,y_0)出满足一些要求, 记

fxx′′=A,f′′(xy)=B,f′′(yy)=Cf''_{xx}=A, f''(xy)=B, f''(yy)=C

那么. 若AC−B2>0AC-B^2>0, ff在该点取得极值. 若A<0A<0, 取得极大值, A>0A>0则取得极小值.

方向导数

x−x0=Δx=tcos⁡αy−y0=Δy=tcos⁡βz−z0=Δz=tcos⁡γ\begin{align} &x-x_0=\Delta x = t\cos{\alpha}\\ &y-y_0=\Delta y = t\cos{\beta}\\ &z-z_0=\Delta z = t\cos{\gamma}\\ \end{align}

以 t=(Δx)2+(Δy)2+(Δz)2t = \sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2+(\Delta{z})^2} 表示PP与P0P_0之间的距离.

若

lim⁡t→0+u(P)−u(P0)t\lim_{t\to0^+}\frac{u(P)-u(P_0)}{t}

存在, 则该极限就为此处的方向导数.

如果偏导数都存在, 也可以使用:

∂u∂l=∇u⋅l∘\frac{\partial u}{\partial l}=\nabla{u}\cdot l^{\circ}

雅克比矩阵

J=[∂f∂x1⋯∂f∂xn]J=\left[\frac{\partial f}{\partial x_1}\cdots \frac{\partial f}{\partial x_n}\right]

应用到积分里时, 求其行列式的绝对值

第一型曲线积分

计算

Γ\Gamma用参数方程表示, 可得

∫Γfds=∫βαf(x′)2+(y′)2+(z′)2dt\int_\Gamma f\text{d}{s}=\int^{\alpha}_{\beta}f\sqrt{(x')^2+(y')^2+(z')^2}\text{d}{t}

第二型曲线积分

直接计算

∫L[PQ]d[xy]=∫βαPtxt′dt+Qtyt′dt\int_L{\left[\begin{matrix} P & Q \end{matrix}\right]\text{d}\left[\begin{matrix} x & y \end{matrix}\right]}=\int^{\alpha}_\beta{P_tx_t'\text{d}t+Q_ty'_t\text{d}t}

直接计算是一个很重要的计算方式, 切不可忘记.

格林公式

∮LPdx+Qdy=∬D(∂Q∂x−∂P∂y)dσ.\oint_L{P\text{d}x+Q\text{d}y}=\iint_{D}(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})\text{d}\sigma.

如果有:

∂Q∂x≡∂P∂y.\frac{\partial Q}{\partial x}\equiv \frac{\partial P}{\partial y}.

那么积分与路径无关, 若此时路径上包含奇点, 则可以更换路径计算. 不过要注意, 新的路径必须在单连通区域上.

若曲线非封闭且

∂Q∂x≠∂P∂y.\frac{\partial Q}{\partial x}\neq\frac{\partial P}{\partial y}.

可以添加简单路径补足曲线, 在结果中减去添加后的路径积分即可.

积分与路径无关

∮LPdx+Qdy=0Pdx+Qdy=duPdx+Qdy=0∇u=[PQ]\begin{align} &\oint_L{P\text{d}x+Q\text{d}y}=0\\ &P\text{d}x+Q\text{d}y=\text{d}u\\ &P\text{d}x+Q\text{d}y=0\\ &\nabla{u}=\left[\begin{matrix} P& Q \end{matrix}\right]\\ \end{align}

斯托克斯公式

∮ΓAds=∬Σ∇×A⋅dσ=∬Σ∇×A⋅n∘ds\oint_{\Gamma}A\text{d}s=\iint_{\Sigma}\nabla\times{A}\cdot\text{d}\sigma=\iint_{\Sigma}{\nabla\times{A}\cdot{n^{\circ}}\text{d}s}

路径无关

若:

∇×F=0,\nabla\times{F} =0,

则曲路径无关. 可以回顾格林公式中路径无关的条件, 其实也就是在∇×F\nabla \times F中, 令k=0k=0, 变成了二维的情形.

曲面积分

∬ΣzdS\iint_{\Sigma}z\text{d}S

一般方法:

dS=1+z′x2+z′y2dxdy\text{d}S=\sqrt{1+{z'}_x^2+{z'}_y^2}\text{d}x\text{d}y

当然也可以

dS=1+y′x2+y′z2dxdz\text{d}S=\sqrt{1+{y'}_x^2+{y'}_z^2}\text{d}x\text{d}z

可以转化为一般的二重积分.

对于有向曲面

∬Σ[PQR]⋅d[xyz]=∬Σ(Pdydz+Qdzdx+Rdxdy)\iint_{\Sigma}\left[\begin{matrix} P & Q & R \end{matrix}\right] \cdot \text{d}\left[\begin{matrix} x & y & z \end{matrix}\right]= \iint_{\Sigma}(P\text{d}y\text{d}z+Q\text{d}z\text{d}x+R\text{d}x\text{d}y)

当曲面封闭且具有连续的一阶偏导数时, 可以使用高斯公式:

∯ΣPdydz+Qdzdx+Rdxdy=∭Ω(∂P∂x+∂Q∂y+∂R∂z)dv\displaystyle {\oiint}_{\kern{-12mu}\Sigma}P\text{d}y\text{d}z+Q\text{d}z\text{d}x+R\text{d}x\text{d}y= \iiint_{\Omega}{\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right)}\text{d}v

如果曲面封闭,有奇点在其内部, 且除了奇点以外,有

∇⋅F=0\nabla \cdot F = 0

那么可以换个积分曲面(边界也无需重合).

如果曲线不封闭, 那么需要边界重合.